Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

Étape 1

Pour déterminer si les colonnes dans la matrice sont linéairement dépendantes, déterminez si l’équation $A x = 0$ a des solutions non triviales.

Étape 2

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 3.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 3.1.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

Étape 3.2

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 3.2.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.2.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{15}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $- \frac{1}{15}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.4

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 3.4.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.4.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

Étape 3.5

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{3}{7}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $- \frac{3}{7}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 3.5.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 3.6.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.6.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 3.7.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.7.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 3.8.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3.8.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Écrivez la matrice comme un système d’équations linéaires.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Étape 5

Comme la seule solution à $A x = 0$ est la solution triviale, les vecteurs sont dépendants linéairement.

Indépendant linéairement